İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik geometride iki nokta arasındaki uzaklık soruları çok sık karşımıza çıkar. Bunun yanında analitik geometrinin her konusunda işlem yapmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü iyi bilinmelidir. Bu yazıda bunu detaylıca öğrenecek ve formülün de ötesine geçerek konuyu mantığıyla öğrenmeye çalışacağız.
İki doğru arasındaki uzaklığı, doğru denklemi yazmayı, noktanın noktaya göre ya da noktanın doğruya göre simetriğini alabilmek için bu konuyu iyi anlamanız gerekir.
İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü
Sorularda bazen koordinat düzlemi üzerinden uzaklık bulmamız gerekebilir. Bazen de noktaları ifade edip de sizden hesaplama istenebilir. Bu formülün esası Pisagor bağıntısıdır. Aşağıdaki görselde iki nokta arasındaki uzaklık detaylı gösterilmiştir.
Pisagor bağıntısını aynen uyguluyoruz. Ä°ki noktanın arasındaki mesafe apsis deÄŸerleri (x’ler) ile ordinat deÄŸerlerinin (y’ler) karelerinin toplamının kare köküdür. Mantığını ÅŸekil üzerinden anladıktan sonra ÅŸekilli olmayan sorularda da çözüm saÄŸlayabiliriz. Bununla ilgili aÅŸağıdaki çözdüğümüz örneklere de bakabilirsiniz.
Bazı soru tiplerinde çizim yaparak geometri bilgisi kullanmanız gerekebilir. Bu nedenle formülü içselleştirmek için elinizden geldiği kadar şekli çizmeye çalışın. Daha sonraki süreçte koordinat düzlemi zaten kafanızda daha iyi canlanacaktır.
Ä°ki nokta arasındaki uzaklık formülü: IABI = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2) şeklindedir.
İki Nokta Arasındaki Uzaklık Soruları
Biraz da soru çözerek öğrendiğimiz soruları pekiştirelim.
Soru #1: İki boyutlu koordinat düzlemi üzerinde K(0, 3) ve L(0, 9) şeklinde işaretlenen noktalar arasındaki mesafe kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm: Soruda her iki noktanın da apsis deÄŸerleri 0 olarak verilmiÅŸtir. Öyleyse ordinat deÄŸerleri doÄŸrudan bize mesafeyi vermektedir. Apsis ve ordinat deÄŸerlerinden birinin aynı olduÄŸu sorularda sayı doÄŸrusunda iki nokta arasındaki uzaklık nasıl bulunuyorsa o ÅŸekilde hesaplama yaparız. Yani 9 – 3 = 6 bulunur. DoÄŸru yanıt E seçeneÄŸidir.
Soru #2: A(-1, 3) noktasıyla B(2, 7) noktaları birleştiriliyor. Bu şekilde elde edilen doğru parçasının uzunluğu |AB| kaç birimdir?
A) 1
B) 1,5
C) 4,7
D) 5
E) 6,2
Çözüm: Bu soru için formülü uygulamamız yeterli olacaktır. Önce apsisler farkı ve ordinatlar farkını bulalım. 2 – -1 = 3 ve 7 – 3 = 4 elde edilir. Åžimdi bulduÄŸumuz deÄŸerlerin karelerini toplayalım: 32 + 42 = 9 + 16 = 25 bulunur. Çıkan sonucun karekökünü alırsak |AB| = 5 birim bulunur. Cevap D seçeneÄŸidir.
Soru #3: Analitik düzlemde A(1, 2) noktası alınıyor. Sonra A noktasını merkez kabul eden ve çapı 8 birim olan bir çember çiziliyor. Çember üzerindeki B noktasının koordinatları (k, 5) olduÄŸuna göre k’nın pozitif deÄŸeri kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
Çözüm: Çemberin çağı 10 birim olduÄŸuna göre yarıçapı 5 birim olur. A noktası ile B noktasını birleÅŸtirdiÄŸimizde yarıçapı elde ederiz. Öyleyse A noktası ile B noktası arasındaki mesafe 5 birim olacaktır. Formülü uyguladığımızda IABI = √((k – 1)2 + (5 – 2)2) = 5 bulunur.
Buradan da 5 = √((k – 1)2 + 9) ⇒ (k – 1)2 + 9) = 25 bulunur. Öyleyse  (k – 1)2 = 16 elde edilir. Bu durumda k = 5 veya k = -3 olur. Pozitif deÄŸer dediÄŸi için cevap 5 olur. DoÄŸru yanıt C seçeneÄŸidir.
Diğer Bazı Formüller
Analitik geometride işimize yarayacak bazı diğer formülleri de kısaca paylaşalım.
Orta nokta formülü: A(a, b) ve B(c, d) noktalarının orta noktası C([a + b]/2, [c + d]/2) şeklindedir.
Nokta ile doğru arasındaki uzaklık: A(K, L) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı d = |a.k +b.L + c| / √a2+b2 formülü ile bulunur. Bulunan bu uzaklık noktanın doğruya olan dik uzaklığıdır. Bu da en kısa mesafe anlamına gelir.
Ä°ki doÄŸru arasındaki uzaklık: Ä°ki doÄŸru arasındaki uzaklıktan bahsedebilmemiz için bu iki doÄŸrunun paralel olması gerekir. Çünkü paralel olmayan doÄŸrular kesiÅŸir. KesiÅŸen doÄŸruların arasındaki uzaklıktan bahsetmek ise mümkün deÄŸildir. ax + by + c = 0 doÄŸrusu ile ax + by + d = 0 paralel doÄŸruları arasındaki uzaklık d= |c – d| / √a2+b2 ÅŸeklindedir.
